Definiamo l’insieme dei numeri reali ℝ come un insieme di numeri tale che in
esso siano ben definite le operazioni di:
- Somma: +
- Prodotto: ·
- Relazione d’ordine: ≤
Che soddisfino i seguenti assiomi:
Assiomi della somma
Proprietà commutativa: a + b = b + a
Proprietà associativa: ( a + b ) + c = a + ( b + c )
Esistenza dell’elemento neutro: ∃ 0 ∈ ℝ : a + 0 = a = 0 + a
Esistenza dell’opposto: ∀ a ∈ ℝ ∃ -a ∈ ℝ : a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a
Assiomi del prodotto
Proprietà commutativa: a · b = b · a
Proprietà associativa: ( a · b ) · c = a · ( b · c )
Esistenza dell’elemento neutro: ∃ 1 ∈ ℝ : a · 1 = a = 1 · a
Esistenza dell’inverso: ∀ a ∈ ℝ, a≠0, ∃ a-1 ∈ ℝ : a · a-1 = 1 = a-1 · a
Assioma della somma e del prodotto
Proprietà distributiva: a · ( b + c ) = ( a · b ) + ( a · c )
Assiomi dell’ordinamento
Posso sempre confrontare 2 elementi: ∀ a,b ∈ ℝ a ≤ b oppure b ≤ a
Proprietà antisimmetrica: se a ≤ b e b ≤ a ⇒ a = b (proprietà antisimmetrica)
Se a ≤ b ⇒ ∀ c ∈ ℝ a + c ≤ b + c
Se a ≥ 0 e b ≥ 0 ⇒ a + b ≥ 0 e a · b ≥ 0
Assioma di completezza
Siano A, B ⊆ ℝ e A, B ≠ Ø due insiemi separati, ovvero tali che ogni
elemento di A è minore o uguale di ogni elemento di B:
a ≤ b ∀ a ∈ A e ∀ b ∈ B⇒ ∃ c ∈ ℝ : a ≤ c ≤ b
(c si dice elemento separatore)